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Juros Compostos

Fórmula dos juros compostos, explicada passo a passo

De onde vem M = C × (1 + i)ᵗ, o que cada letra faz ali dentro e como virar a fórmula para achar a taxa, o tempo ou o valor inicial.

A fórmula e as quatro letras

M = C × (1 + i)t
montante: o valor no fim · capital: o valor no começo · taxa de juros por período, em decimal · tempo, em número de períodos

Lida em voz alta: o valor final é o valor inicial multiplicado por "um mais a taxa", tantas vezes quantos forem os períodos.

Duas regras evitam quase todos os erros. A taxa entra em decimal: 5% é 0,05. E taxa e tempo usam a mesma unidade: taxa ao mês, tempo em meses.

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De onde a fórmula vem

A fórmula não precisa ser decorada: ela aparece sozinha quando se faz a conta período por período. Veja com R$ 1.000,00 a 10% ao mês.

Um período de cada vez

Ganhar 10% é ficar com o que havia (100%) mais 10%: 110% do valor, ou seja, multiplicar por 1,10. É daí que vem o "1 +" da fórmula.

  1. Fim do mês 1: o valor inicial vezes 1,10.

    1.000,00 × 1,10 = R$ 1.100,00

  2. Fim do mês 2: o saldo do mês 1 vezes 1,10 de novo.

    1.100,00 × 1,10 = R$ 1.210,00

  3. Fim do mês 3: mais uma vez.

    1.210,00 × 1,10 = R$ 1.331,00

  4. Juntando as três linhas em uma só.

    1.000,00 × 1,10 × 1,10 × 1,10 = 1.000,00 × 1,103

  5. Trocando os números pelas letras, com t no lugar do 3.

    M = C × (1 + i)t

O tempo foi parar no expoente porque multiplicar várias vezes pelo mesmo número é elevar a uma potência. É por isso que os juros compostos crescem em curva: cada multiplicação parte de um saldo maior que o anterior.

E os juros?

A fórmula dá o valor final. Os juros são a diferença: J = M − C. No exemplo, 1.331,00 − 1.000,00 = R$ 331,00. Em juros simples, seriam R$ 300,00.

A fórmula virada para cada letra

São quatro perguntas possíveis, e uma forma da fórmula para cada uma. Em todas, a conta resolvida.

Quanto vai dar?

M = C × (1 + i)t

Exemplo: R$ 1.000,00 a 2% ao mês por 6 meses.

  1. Escreva a fórmula dos juros compostos.

    M = C × (1 + i)t

  2. Passe a taxa de porcentagem para número decimal: divida por 100.

    i = 2 ÷ 100 = 0,02

  3. Troque as letras pelos valores.

    M = 1.000,00 × (1 + 0,02)6

  4. Resolva a soma dentro do parêntese.

    M = 1.000,00 × 1,026

  5. Calcule a potência: 1,02 multiplicado por ele mesmo 6 vezes.

    1,026 = 1,126162

  6. Multiplique pelo valor inicial.

    M = 1.000,00 × 1,126162 = R$ 1.126,16

  7. Os juros são a diferença entre o valor final e o inicial.

    J = M − C = 1.126,16 − 1.000,00 = R$ 126,16

Quanto preciso ter hoje?

C = M ÷ (1 + i)t

Exemplo: Para ter R$ 5.000,00 em 6 meses, a 2% ao mês.

  1. Escreva a fórmula e isole o C: o que multiplica de um lado passa dividindo para o outro.

    M = C × (1 + i)t → C = M ÷ (1 + i)t

  2. Passe a taxa de porcentagem para número decimal: divida por 100.

    i = 2 ÷ 100 = 0,02

  3. Troque as letras pelos valores.

    C = 5.000,00 ÷ (1 + 0,02)6

  4. Calcule a potência.

    1,026 = 1,126162

  5. Divida o valor final pelo resultado.

    C = 5.000,00 ÷ 1,126162 = R$ 4.439,86

  6. Os juros são a diferença entre o valor final e o inicial.

    J = M − C = 5.000,00 − 4.439,86 = R$ 560,14

Qual foi a taxa?

i = (M ÷ C)1 ÷ t − 1

Exemplo: R$ 1.000,00 que viraram R$ 1.500,00 em 12 meses.

  1. Escreva a fórmula e isole o i: divida os dois lados por C e tire a raiz de índice t.

    M = C × (1 + i)t → i = (M ÷ C)1 ÷ t − 1

  2. Divida o valor final pelo inicial.

    M ÷ C = 1.500,00 ÷ 1.000,00 = 1,5

  3. Tire a raiz de índice 12 (é o mesmo que elevar a 1 ÷ 12).

    1,51 ÷ 12 = 1,034366

  4. Subtraia 1 e multiplique por 100 para voltar à porcentagem.

    i = 1,034366 − 1 = 0,034366 = 3,4366% ao mês

Quanto tempo leva?

t = log(M ÷ C) ÷ log(1 + i)

Exemplo: R$ 1.000,00 chegarem a R$ 3.000,00, a 2% ao mês.

  1. Escreva a fórmula e isole o t. Como ele está no expoente, usa-se logaritmo.

    M = C × (1 + i)t → t = log(M ÷ C) ÷ log(1 + i)

  2. Passe a taxa de porcentagem para número decimal: divida por 100.

    i = 2 ÷ 100 = 0,02

  3. Divida o valor final pelo inicial.

    M ÷ C = 3.000,00 ÷ 1.000,00 = 3

  4. Calcule os dois logaritmos (aqui, na base 10; qualquer base dá o mesmo resultado).

    log(3) = 0,477121 e log(1,02) = 0,0086

  5. Divida um pelo outro.

    t = 0,477121 ÷ 0,0086 = 55,48 meses

  6. Se os juros só entram ao fim de cada período inteiro, arredonde para cima.

    56 meses completos: M = R$ 3.031,17

Os erros mais comuns

Esquecer de dividir a taxa por 100

Com 2% ao mês, o parêntese é (1 + 0,02) = 1,02. Quem escreve (1 + 2) = 3 triplica o valor a cada mês.

Misturar mês com ano

Taxa de 1% ao mês por 2 anos: o expoente é 24, não 2. Se a taxa for ao ano e o prazo em meses, converta a taxa com a página de taxa equivalente ou escreva o tempo como fração do ano.

Multiplicar a taxa pelo tempo

2% × 12 = 24% é a conta dos juros simples. Em compostos, 2% ao mês por 12 meses dão 1,0212 − 1 = 26,82%.

Resolver a potência antes do parêntese

A ordem é: soma dentro do parêntese, depois a potência, depois a multiplicação pelo valor inicial.

Confundir montante com juros

Se a questão pergunta "quanto rendeu", a resposta é J = M − C, e não M. Treine nos exercícios resolvidos.

Perguntas frequentes

O que significa cada letra de M = C × (1 + i)^t?

M é o montante, o valor no fim. C é o capital, o valor no começo. i é a taxa de juros por período, escrita em decimal. t é o número de períodos. O "1 +" dentro do parêntese representa o próprio valor que já estava lá: a cada período, fica o que havia (1) mais os juros (i).

Por que o tempo fica no expoente?

Porque a cada período o saldo é multiplicado de novo por (1 + i). Multiplicar t vezes pelo mesmo número é elevar esse número a t. É isso que faz o crescimento ser exponencial.

Como isolar a taxa e o tempo na fórmula?

Para a taxa: divida os dois lados por C, tire a raiz de índice t e subtraia 1, chegando a i = (M ÷ C)^(1 ÷ t) − 1. Para o tempo: divida por C e aplique logaritmo, chegando a t = log(M ÷ C) ÷ log(1 + i).

Qual a fórmula só dos juros?

J = M − C, ou, juntando tudo, J = C × [(1 + i)^t − 1]. Não existe uma fórmula de juros compostos que dispense a potência.

O que é o fator de capitalização?

É o resultado de (1 + i)^t: o número pelo qual o valor inicial é multiplicado. A 1% ao mês por 12 meses, o fator é 1,126825. Tabelas financeiras antigas traziam esses fatores prontos.

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